专升本数学严选800题

微分方程 · 多元函数微分学 · 重积分 · 曲线积分 · 无穷级数

一、微分方程（153-161题）

微分方程 $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan\frac{y}{x}$ 的通解为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$\sin\frac{y}{x} = Cx$ 或 $y = x\arcsin(Cx)$
解析：这是齐次微分方程。令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$。

代入原方程：$u + x\frac{du}{dx} = u + \tan u$

化简得：$x\frac{du}{dx} = \tan u$，即 $\frac{\cos u}{\sin u}du = \frac{dx}{x}$

积分：$\ln|\sin u| = \ln|x| + \ln|C|$，即 $\sin u = Cx$

回代 $u = \frac{y}{x}$，得 $\sin\frac{y}{x} = Cx$。
微分方程 $\frac{dy}{dx} - 2xy = x$ 的通解为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y = Ce^{x^2} - \frac{1}{2}$
解析：这是一阶线性微分方程，标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$。

其中 $P(x) = -2x$，$Q(x) = x$。

积分因子：$\mu(x) = e^{\int -2x dx} = e^{-x^2}$。

通解公式：$y = e^{x^2}\left[\int x \cdot e^{-x^2} dx + C\right]$

计算积分：$\int x e^{-x^2} dx = -\frac{1}{2}e^{-x^2}$

因此 $y = e^{x^2}\left[-\frac{1}{2}e^{-x^2} + C\right] = Ce^{x^2} - \frac{1}{2}$。
微分方程 $y'' + y' - 2y = 0$ 的通解为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y = C_1 e^x + C_2 e^{-2x}$
解析：二阶常系数齐次线性微分方程。

特征方程：$r^2 + r - 2 = 0$

因式分解：$(r+2)(r-1) = 0$，得特征根 $r_1 = 1, r_2 = -2$。

两个不等实根，通解为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^x + C_2 e^{-2x}$。
微分方程 $y'' + 6y' + 13y = 0$ 的通解为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y = e^{-3x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$
解析：特征方程：$r^2 + 6r + 13 = 0$。

判别式 $\Delta = 36 - 52 = -16 < 0$，有一对共轭复根。

$r = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = -3 \pm 2i$，即 $\alpha = -3, \beta = 2$。

通解为 $y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) = e^{-3x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x)$。
微分方程 $y'' - 2y' + y = 0$ 的通解为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y = (C_1 + C_2 x)e^x$
解析：特征方程：$r^2 - 2r + 1 = 0$。

$(r-1)^2 = 0$，得重根 $r_{1,2} = 1$。

二重实根情况，通解为 $y = (C_1 + C_2 x)e^{rx} = (C_1 + C_2 x)e^x$。
微分方程 $y^{\prime\prime\prime} - 4y' = 0$ 的通解为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-2x}$
解析：三阶常系数齐次线性微分方程。

特征方程：$r^3 - 4r = 0$，即 $r(r^2 - 4) = 0$。

解得 $r_1 = 0, r_2 = 2, r_3 = -2$。

三个不等实根，通解为 $y = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-2x} = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-2x}$。
$y'' - 3y' + 2y = e^x$ 的特解可设为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y^* = Axe^x$（或 $y^* = axe^x$）
解析：先求齐次方程特征根：$r^2 - 3r + 2 = 0$，得 $r_1 = 1, r_2 = 2$。

自由项 $f(x) = e^x = P_0(x)e^{1\cdot x}$，其中 $\lambda = 1$。

因为 $\lambda = 1$ 是特征方程的单根，所以特解形式应设为 $y^* = x \cdot A e^x = Axe^x$。

（若 $\lambda$ 不是特征根，设为 $Ae^x$；若是单根，乘以 $x$；若是重根，乘以 $x^2$）
$y'' - y = (4x+1)e^x$ 的特解可设为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y^* = x(ax+b)e^x$（或 $Ax^2e^x + Bxe^x$）
解析：齐次方程特征方程：$r^2 - 1 = 0$，得 $r_1 = 1, r_2 = -1$。

自由项 $f(x) = (4x+1)e^x$，其中 $\lambda = 1$，多项式为一次。

因为 $\lambda = 1$ 是特征方程的单根，所以特解形式设为：

$y^* = x \cdot (ax+b)e^x = (ax^2 + bx)e^x$。

即 $y^* = x(Ax+B)e^x$ 形式。
$y'' - y = 2e^{-x}$ 的特解可设为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$y^* = Axe^{-x}$（或 $y^* = axe^{-x}$）
解析：齐次方程特征根：$r^2 - 1 = 0$，得 $r_1 = 1, r_2 = -1$。

自由项 $f(x) = 2e^{-x}$，其中 $\lambda = -1$。

因为 $\lambda = -1$ 是特征方程的单根，所以特解形式设为 $y^* = x \cdot A e^{-x} = Axe^{-x}$。

二、多元函数微分学（162-175题）

$\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2\sin x^2 y^2}{\ln(1-x^2 y^2)} = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$-2$
解析：令 $t = x^2 y^2$，当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，$t \to 0$。

利用等价无穷小：当 $t \to 0$ 时，$\sin t \sim t$，$\ln(1-t) \sim -t$。

原式 $= \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{2t}{-t} = -2$。
$\displaystyle\lim_{\substack{x \to 0 \\ y \to 0}} \frac{\sqrt{1+2xy}-1}{e^{2xy}-1} = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$\frac{1}{2}$
解析：令 $t = xy$，当 $x \to 0, y \to 0$ 时，$t \to 0$。

利用等价无穷小：$\sqrt{1+2t}-1 \sim \frac{1}{2} \cdot 2t = t$，$e^{2t}-1 \sim 2t$。

原式 $= \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{t}{2t} = \frac{1}{2}$。
设 $z = \ln(x+y^2)$，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$\frac{-1}{(x+y^2)^2}$
解析：先求一阶偏导：$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x+y^2}$。

再求二阶偏导：$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{x+y^2}\right) = \frac{-1}{(x+y^2)^2}$。
设 $z = x^y$，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = \underline{\hspace{8em}}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$yx^{y-1}$，$x^y \ln x$
解析：$z = x^y = e^{y\ln x}$。

对 $x$ 求偏导（视 $y$ 为常数，幂函数求导）：$\frac{\partial z}{\partial x} = yx^{y-1}$。

对 $y$ 求偏导（视 $x$ 为常数，指数函数求导）：$\frac{\partial z}{\partial y} = x^y \ln x$。
设 $z = (x+y)e^{xy}$，则 $dz = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$e^{xy}[(1+xy+y^2)dx + (1+xy+x^2)dy]$
解析：$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$。

$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{xy} + (x+y)ye^{xy} = e^{xy}(1 + xy + y^2)$。

$\frac{\partial z}{\partial y} = e^{xy} + (x+y)xe^{xy} = e^{xy}(1 + xy + x^2)$。

因此 $dz = e^{xy}[(1+xy+y^2)dx + (1+xy+x^2)dy]$。
设 $z = \arctan(x^2+y^2)$，则 $dz\big|_{(1,1)} = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$\frac{2}{5}(dx + dy)$（或 $\frac{2}{5}dx + \frac{2}{5}dy$）
解析：$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{1+(x^2+y^2)^2}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{1+(x^2+y^2)^2}$。

在点 $(1,1)$ 处：$x^2+y^2 = 2$，$1+(x^2+y^2)^2 = 5$。

$\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(1,1)} = \frac{2}{5}$，$\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(1,1)} = \frac{2}{5}$。

$dz\big|_{(1,1)} = \frac{2}{5}dx + \frac{2}{5}dy = \frac{2}{5}(dx+dy)$。
设 $z = y\ln(x^2 y)$，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$\frac{2}{x}$
解析：先化简：$z = y(\ln x^2 + \ln y) = 2y\ln x + y\ln y$。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2y}{x}$。

$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{2y}{x}\right) = \frac{2}{x}$。
设 $z = \sin xy$，而 $y = e^{2x}$，则 $\frac{dz}{dx} = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$e^{2x}(1+2x)\cos(xe^{2x})$
解析：复合函数求导，$z = \sin(xy)$，$y = e^{2x}$。

$\frac{dz}{dx} = \cos(xy) \cdot \frac{d(xy)}{dx} = \cos(xy) \cdot (y + x\frac{dy}{dx})$。

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} = 2y$。

$\frac{dz}{dx} = \cos(xy) \cdot (y + 2xy) = y(1+2x)\cos(xy) = e^{2x}(1+2x)\cos(xe^{2x})$。
设 $w = x^2 - xy^3 + xyz$，则 $\frac{\partial w}{\partial z} = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$xy$
解析：对 $z$ 求偏导，视 $x,y$ 为常数。

$\frac{\partial w}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(xyz) = xy$。
设 $z = z(x,y)$ 由方程 $\sin z - e^{2z} + 2xy = 0$ 确定，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$\frac{-2y}{\cos z - 2e^{2z}}$ 或 $\frac{2y}{2e^{2z} - \cos z}$
解析：隐函数求导。设 $F(x,y,z) = \sin z - e^{2z} + 2xy = 0$。

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{2y}{\cos z - 2e^{2z}} = \frac{2y}{2e^{2z} - \cos z}$。
设 $z = u^2 \sin v$，而 $u = x-y$，$v = x+y$，则 $\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$2(x-y)^2 \cos(x+y)$
解析：链式法则：$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} = 2u\sin v \cdot 1 + u^2\cos v \cdot 1$。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} = 2u\sin v \cdot (-1) + u^2\cos v \cdot 1$。

相加：$\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} = 2u^2\cos v = 2(x-y)^2\cos(x+y)$。
设 $z = f(u,v,w)$，其中 $f$ 可导，而 $u = 2t^3$，$v = \sin^2 t$，$w = e^{-2t}$，则 $\frac{dz}{dt} = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$6t^2 f_u + \sin 2t \cdot f_v - 2e^{-2t} f_w$
解析：全导数公式：

$\frac{dz}{dt} = f_u \cdot \frac{du}{dt} + f_v \cdot \frac{dv}{dt} + f_w \cdot \frac{dw}{dt}$。

$\frac{du}{dt} = 6t^2$，$\frac{dv}{dt} = 2\sin t \cos t = \sin 2t$，$\frac{dw}{dt} = -2e^{-2t}$。

因此 $\frac{dz}{dt} = 6t^2 f_u + \sin 2t \cdot f_v - 2e^{-2t} f_w$。
设 $z = 2\sin y^2 - x^2 + f(u)$，而 $u = xy$，且函数 $f(u)$ 可微，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$-2x + yf'(xy)$
解析：$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-x^2) + \frac{\partial}{\partial x}f(xy) = -2x + f'(xy) \cdot y$。

$= -2x + yf'(xy)$。
设 $z = f\left(\frac{y}{x}, \frac{x}{y}\right)$，且函数 $f$ 可微，则 $\frac{\partial z}{\partial x} = \underline{\hspace{8em}}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y}{x^2}f_1 + \frac{1}{y}f_2$，$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x}f_1 - \frac{x}{y^2}f_2$
解析：设 $u = \frac{y}{x}$，$v = \frac{x}{y}$，则 $z = f(u,v)$。

$\frac{\partial z}{\partial x} = f_1 \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + f_2 \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = f_1 \cdot (-\frac{y}{x^2}) + f_2 \cdot \frac{1}{y} = -\frac{y}{x^2}f_1 + \frac{1}{y}f_2$。

$\frac{\partial z}{\partial y} = f_1 \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_2 \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = f_1 \cdot \frac{1}{x} + f_2 \cdot (-\frac{x}{y^2}) = \frac{1}{x}f_1 - \frac{x}{y^2}f_2$。

三、重积分（176-183题）

设 $D$ 为 $|x|+|y| \leqslant 1$ 围成的区域，则 $\displaystyle\iint_D 3d\sigma = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$6$
解析：$|x|+|y| \leqslant 1$ 表示以 $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ 为顶点的正方形（菱形）。

对角线长为 $2$，面积为 $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。

$\displaystyle\iint_D 3d\sigma = 3 \times S_D = 3 \times 2 = 6$。
设 $D$ 由直线 $y=x$，$y=-x$ 和 $x=1$ 围成，则 $\displaystyle\iint_D x\sin xy^3 dxdy = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$0$
解析：区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称（$y$ 换为 $-y$ 不变）。

被积函数 $f(x,y) = x\sin(xy^3)$，关于 $y$ 是奇函数：$f(x,-y) = x\sin(x(-y)^3) = x\sin(-xy^3) = -x\sin(xy^3) = -f(x,y)$。

由对称性，积分值为 $0$。
设 $D: x^2+y^2 \leqslant 1$，则二重积分 $\displaystyle\iint_D 2x^2\left(y^3+\frac{1}{x^2}\right)dxdy = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$2\pi$
解析：展开：$\displaystyle\iint_D (2x^2y^3 + 2)dxdy$。

第一项：$2x^2y^3$ 关于 $y$ 是奇函数，区域关于 $x$ 轴对称，积分为 $0$。

第二项：$\displaystyle\iint_D 2dxdy = 2 \times \pi \times 1^2 = 2\pi$。
设 $D$ 是由直线 $y=1$，$x=2$ 及 $y=x$ 围成的闭区域，则 $\displaystyle\iint_D x^2y dxdy = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$\frac{31}{40}$
解析：区域 $D$：$1 \leqslant y \leqslant x$，$1 \leqslant x \leqslant 2$（或 $y \leqslant x \leqslant 2$，$1 \leqslant y \leqslant 2$）。

$\displaystyle\int_1^2 dx \int_1^x x^2y dy = \int_1^2 x^2 \cdot \frac{1}{2}(x^2-1)dx = \frac{1}{2}\int_1^2 (x^4-x^2)dx$。

$= \frac{1}{2}\left[\frac{x^5}{5} - \frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \frac{1}{2}\left[(\frac{32}{5}-\frac{8}{3})-(\frac{1}{5}-\frac{1}{3})\right] = \frac{1}{2} \times \frac{31}{20} = \frac{31}{40}$。
设 $D$ 是由 $|x| \leqslant 1$，$|y| \leqslant 1$ 围成的闭区域，则二重积分 $\displaystyle\iint_D (x^2+xy^3)dxdy = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$\frac{4}{3}$
解析：区域关于 $y$ 轴对称，$xy^3$ 关于 $x$ 是奇函数，该项积分为 $0$。

$\displaystyle\iint_D x^2 dxdy = \int_{-1}^1 x^2 dx \int_{-1}^1 dy = 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$。
设 $D$ 是由圆周 $x^2+y^2=4$ 围成的闭区域，则二重积分 $\displaystyle\iint_D e^{x^2+y^2}dxdy = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$\pi(e^4-1)$
解析：极坐标变换：$x^2+y^2 = r^2$，$dxdy = rdrd\theta$。

$D$：$0 \leqslant r \leqslant 2$，$0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi$。

$\displaystyle\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 e^{r^2} \cdot r dr = 2\pi \cdot \frac{1}{2}e^{r^2}\big|_0^2 = \pi(e^4-1)$。
交换积分次序：$\displaystyle\int_0^{\ln 2} dx \int_{e^x}^2 f(x,y)dy = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$\displaystyle\int_1^2 dy \int_0^{\ln y} f(x,y)dx$
解析：原积分区域：$0 \leqslant x \leqslant \ln 2$，$e^x \leqslant y \leqslant 2$。

即 $y = e^x$（即 $x = \ln y$）上方，$y=2$ 下方，$x$ 从 $0$ 到 $\ln 2$。

当 $x=0$ 时 $y=1$，当 $x=\ln 2$ 时 $y=2$。

交换后：$1 \leqslant y \leqslant 2$，$0 \leqslant x \leqslant \ln y$。
交换积分次序：$\displaystyle\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^1 \frac{y^3}{1+x^2}dx = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$\displaystyle\int_0^1 dx \int_0^{x^2} \frac{y^3}{1+x^2}dy$（计算结果为 $\frac{1}{12}(1-\ln 2)$）
解析：原区域：$0 \leqslant y \leqslant 1$，$\sqrt{y} \leqslant x \leqslant 1$，即 $y \leqslant x^2$，$x$ 从 $\sqrt{y}$ 到 $1$。

交换后：$0 \leqslant x \leqslant 1$，$0 \leqslant y \leqslant x^2$。

计算：$\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx \int_0^{x^2} y^3dy = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{x^8}{4}dx$。

$= \frac{1}{4}\int_0^1 \frac{x^8}{1+x^2}dx = \frac{1}{4}\int_0^1 (x^6-x^4+x^2-1+\frac{1}{1+x^2})dx = \frac{1}{12}(1-\ln 2)$。

四、曲线积分（184-188题）

设 $L$ 为 $y=x^2$ 从点 $O(0,0)$ 到点 $A(1,1)$ 的一段弧，则 $\displaystyle\int_L xy^2dx + 2x^3dy = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$\frac{29}{30}$
解析：参数化：$x = t$，$y = t^2$，$t$ 从 $0$ 到 $1$，$dx = dt$，$dy = 2tdt$。

代入：$\displaystyle\int_0^1 [t \cdot t^4 + 2t^3 \cdot 2t]dt = \int_0^1 (t^5 + 4t^4)dt$。

$= \left[\frac{t^6}{6} + \frac{4t^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1}{6} + \frac{4}{5} = \frac{5+24}{30} = \frac{29}{30}$。
设 $L$ 是抛物线 $y=x^3$ 从点 $O(0,0)$ 到点 $A(2,8)$ 的一段弧，则曲线积分 $\displaystyle\int_L (x^2-y)dx = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$-\frac{4}{3}$
解析：$y = x^3$，$dy = 3x^2dx$，但本题只有 $dx$ 项。

$\displaystyle\int_L (x^2-y)dx = \int_0^2 (x^2-x^3)dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 4 = -\frac{4}{3}$。
设 $L$ 为正向圆周 $x^2+y^2=1$，则 $\displaystyle\oint_L (xy^2+1)dy - (x^2y+1)dx = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$\frac{\pi}{2}$
解析：格林公式：$\displaystyle\oint_L Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})d\sigma$。

$P = -(x^2y+1) = -x^2y-1$，$Q = xy^2+1$。

$\frac{\partial Q}{\partial x} = y^2$，$\frac{\partial P}{\partial y} = -x^2$。

原式 $= \displaystyle\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1} (y^2+x^2)dxdy = \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r^2 \cdot rdr = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$。
曲线积分 $\displaystyle\int_{(1,2)}^{(2,3)} (3x^2+2y)dx + (2x-\sin y)dy$ 与积分路径 $\underline{\hspace{4em}}$（有关、无关）。

答案：无关
解析：验证 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。

$P = 3x^2+2y$，$Q = 2x-\sin y$。

$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 2$，相等。

因此积分与路径无关。
设曲线积分 $\displaystyle\int_{(1,1)}^{(2,3)} (3xy^2-2y^3)dx + (ax^2y-6xy^2)dy$ 与积分路径无关，则 $a = \underline{\hspace{4em}}$。

答案：$3$
解析：$P = 3xy^2-2y^3$，$Q = ax^2y-6xy^2$。

路径无关条件：$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。

$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2axy - 6y^2$，$\frac{\partial P}{\partial y} = 6xy - 6y^2$。

令相等：$2axy - 6y^2 = 6xy - 6y^2$，得 $2a = 6$，$a = 3$。

五、无穷级数（189-192题）

级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ 的前三项为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：$-1, \frac{1}{4}, -\frac{1}{9}$（或 $-1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{9}$）
解析：$n=1$：$\frac{(-1)^1}{1^2} = -1$。

$n=2$：$\frac{(-1)^2}{2^2} = \frac{1}{4}$。

$n=3$：$\frac{(-1)^3}{3^2} = -\frac{1}{9}$。
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \underline{\hspace{8em}}$。

答案：$1$
解析：裂项相消：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$。

部分和 $S_n = (1-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + \cdots + (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) = 1 - \frac{1}{n+1}$。

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = 1$。
判断：若 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n = 0$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛 $\underline{\hspace{4em}}$（对、错）。

答案：错
解析：级数收敛的必要条件是通项趋于 $0$，但非充分条件。

反例：调和级数 $\sum \frac{1}{n}$，$\lim \frac{1}{n} = 0$，但级数发散。
级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^2+1}$ 的敛散性为 $\underline{\hspace{8em}}$。

答案：发散
解析：$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+1/n^2} = 1 \neq 0$。

由级数收敛的必要条件，通项不趋于 $0$，故级数发散。